Cos'è campo conservativo?

Campo Conservativo

Un campo conservativo è un campo vettoriale in cui l'integrale di linea tra due punti è indipendente dal percorso seguito. In altre parole, il lavoro compiuto da una forza conservativa per spostare un oggetto tra due punti dipende solo dalla posizione iniziale e finale, e non dal percorso.

Definizione Formale:

Un campo vettoriale F è conservativo se esiste una funzione scalare φ (phi), detta potenziale scalare, tale che:

F = ∇φ

Dove ∇φ rappresenta il gradiente di φ.

Proprietà Chiave:

• Indipendenza dal percorso: L'integrale di linea di un campo conservativo tra due punti A e B è indipendente dal percorso γ:

  ∫γ F · dr = φ(B) - φ(A)

• Circuitazione nulla: La circuitazione (integrale di linea lungo una curva chiusa) di un campo conservativo è sempre zero:

  ∮ F · dr = 0

• Test di conservatività: In due dimensioni, un campo F = (P(x,y), Q(x,y)) è conservativo se e solo se:

  ∂P/∂y = ∂Q/∂x

  Questo è un caso particolare del più generale teorema di Stokes. In tre dimensioni, un campo F è conservativo se e solo se il suo rotore è zero:

  ∇ × F = 0

Esempi di Campi Conservativi:

• Campo gravitazionale: La forza gravitazionale è un esempio classico di forza conservativa. L'energia potenziale gravitazionale è il potenziale scalare associato.
• Campo elettrostatico: La forza elettrostatica tra cariche stazionarie è anch'essa conservativa. Il potenziale elettrico è il potenziale scalare associato.

Importanza:

La nozione di campo conservativo è fondamentale in fisica perché semplifica notevolmente i calcoli relativi al lavoro e all'energia. Quando si ha a che fare con forze conservative, si può definire un'energia potenziale, il che rende più facile determinare il moto di un oggetto. Inoltre, i campi conservativi sono alla base di molti teoremi importanti in fisica, come il teorema di conservazione dell'energia.

Ricerca del Potenziale Scalare:

Se si sa che un campo è conservativo, si può trovare il potenziale scalare φ integrando le componenti del campo. Ad esempio, in due dimensioni:

φ(x, y) = ∫ P(x, y) dx + g(y)

Dove g(y) è una funzione arbitraria di y che deve essere determinata derivando φ rispetto a y e confrontandola con Q(x, y).

∂φ/∂y = ∂/∂y ∫ P(x, y) dx + g'(y) = Q(x, y)

Questo permette di trovare g'(y) e quindi g(y) integrando g'(y). Si noti che il potenziale scalare è definito a meno di una costante additiva.